Знаменатель числитель где находятся


Знаменатель числитель где находятся

Знаменатель числитель где находятся

Знаменатель числитель где находятся




От общего обзора из курса алгебры школьной программы переходим к конкретике. В этой статье мы подробно изучим особый вид рациональных выражений – рациональные дроби, а также разберем, какие характерные тождественные преобразования рациональных дробей имеют место.

Сразу отметим, что рациональные дроби в том смысле, в котором мы их определим ниже, в некоторых учебниках алгебры называют алгебраическими дробями. То есть, в этой статье мы под рациональными и алгебраическими дробями будем понимать одно и то же.

По обыкновению начнем с определения и примеров. Дальше поговорим про приведение рациональной дроби к новому знаменателю и о перемене знаков у членов дроби. После этого разберем, как выполняется сокращение дробей. Наконец, остановимся на представлении рациональной дроби в виде суммы нескольких дробей. Всю информацию будем снабжать примерами с подробными описаниями решений.


Определение и примеры рациональных дробей

Рациональные дроби изучаются на уроках алгебры в 8 классе. Мы будем использовать определение рациональной дроби, которое дается в учебнике алгебры для 8 классов Ю. Н. Макарычева и др.

Определение.

Рациональной дробью называют дробь, числитель и знаменатель которой есть с натуральными, целыми или рациональными коэффициентами.

В данном определении не уточняется, должны ли многочлены в числителе и знаменателе рациональной дроби быть многочленами стандартного вида или нет. Поэтому, будем считать, что в записях рациональных дробей могут содержаться как многочлены стандартного вида, так и не стандартного.

Приведем несколько примеров рациональных дробей. Так , x/8 и - рациональные дроби. А дроби и не подходят под озвученное определение рациональной дроби, так как в первой из них в числителе стоит не многочлен, а во второй и в числителе и в знаменателе находятся выражения, не являющиеся многочленами.

Преобразование числителя и знаменателя рациональной дроби


Числитель и знаменатель любой дроби представляют собой самодостаточные математические выражения, в случае рациональных дробей – это многочлены, в частном случае – одночлены и числа. Поэтому, с числителем и знаменателем рациональной дроби, как и с любым выражением, можно проводить тождественные преобразования. Иными словами, выражение в числителе рациональной дроби можно заменять тождественно равным ему выражением, как и знаменатель.

В числителе и знаменателе рациональной дроби можно выполнять . Например, в числителе можно провести группировку и приведение подобных слагаемых, а в знаменателе – произведение нескольких чисел заменить его значением. А так как числитель и знаменатель рациональной дроби есть многочлены, то с ними можно выполнять и характерные для многочленов преобразования, например, приведение к стандартному виду или представление в виде произведения.

Для наглядности рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Преобразуйте рациональную дробь так, чтобы в числителе оказался многочлен стандартного вида, а в знаменателе – произведение многочленов.

Решение.

Сначала в числителе, для этого нужно выполнить умножение чисел, применить свойство степени с одинаковыми основаниями, а также привести подобные члены:

Переходим к преобразованию знаменателя. Его нам нужно представить в виде произведения, иными словами, нужно , стоящий в знаменателе. Для этого сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе – с четвертым, после чего вынесем общие множители за скобки:

Очевидно, слагаемые в полученном выражении имеют общий множитель, который мы также выносим за скобки: . В результате приходим к произведению многочленов.

После проведенных преобразований исходная рациональная дробь принимает нужный нам вид .

Ответ:

.

Рассмотренные преобразования числителя и знаменателя часто являются составной частью других характерных для рациональных дробей преобразований, к обзору которых мы и переходим.

Приведение к новому знаменателю

Изучая , мы познакомились с , которое утверждает, что умножение числителя и знаменателя на любое дает дробь, равную исходной. Это свойство естественным образом можно распространить на рациональные дроби (да и, вообще, на любые дроби): если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на ненулевой многочлен, то получится дробь, равная исходной.

Итак, для любых многочленов a, b и c, причем b и c – ненулевые многочлены, справедливо равенство , являющееся . Например, в силу основного свойства дроби справедливо равенство на всей переменных x и y.

Одно из приложений полученного утверждения заключается в приведении рациональной дроби к новому знаменателю. Под приведением рациональной дроби к новому знаменателю понимают умножение ее числителя и знаменателя на некоторый ненулевой многочлен, в результате чего получается новая дробь с новым знаменателем, которая тождественно равна исходной.

В качестве примера возьмем рациональную дробь и приведем ее к новому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель, например, на x2+y. В результате получим дробь с новым знаменателем , которая путем выполнения в числителе и знаменателе может быть преобразована в рациональную дробь (смотрите ).

Приведение рациональных дробей к новому знаменателю в основном применяется при .

Более полную информацию по теме можно получить, обратившись к статье .

Изменение знаков перед дробью, а также в ее числителе и знаменателе

Основное свойство дроби можно использовать для смены знаков у членов дроби. Действительно, умножение числителя и знаменателя рациональной дроби на -1 равносильно смене их знаков, а в результате получится дробь, тождественно равная данной. К такому преобразованию приходится достаточно часто обращаться при работе с рациональными дробями.

Таким образом, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя дроби, то получится дробь, равная исходной. Этому утверждению отвечает равенство .

Приведем пример. Рациональную дробь можно заменить тождественно равной ей дробью с измененными знаками числителя и знаменателя вида .

С дробями можно провести еще одно тождественное преобразование, при котором меняется знак либо в числителе, либо в знаменателе. Озвучим соответствующее правило. Если заменить знак дроби вместе со знаком числителя или знаменателя, то получится дробь, тождественно равная исходной. Записанному утверждению соответствуют равенства и .

Доказать эти равенства не составляет труда. В основе доказательства лежат свойства умножения чисел. Докажем первое из них: . С помощью аналогичных преобразований доказывается и равенство .

Например, дробь можно заменить выражением или .

В заключение этого пункта приведем еще два полезных равенства и . То есть, если изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то дробь изменит свой знак. Например, и .

Рассмотренные преобразования, позволяющие изменять знак у членов дроби, часто применяются при преобразовании дробно рациональных выражений.

Сокращение рациональных дробей

В основе следующего преобразования рациональных дробей, имеющего название сокращение рациональных дробей, лежит все тоже основное свойство дроби. Этому преобразованию соответствует равенство , где a, b и c – некоторые многочлены, причем b и c - ненулевые.

Из приведенного равенства становится понятно, что сокращение рациональной дроби подразумевает избавление от общего множителя в ее числителе и знаменателе.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Сразу виден общий множитель 2, выполним сокращение на него (при записи общие множители, на которые сокращают, удобно зачеркивать). Имеем . Так как x2=x·x и y7=y3·y4 (при необходимости смотрите ), то понятно, что x является общим множителем числителя и знаменателя полученной дроби, как и y3. Проведем сокращение на эти множители: . На этом сокращение завершено.

Выше мы выполняли сокращение рациональной дроби последовательно. А можно было выполнить сокращение в один шаг, сразу сократив дробь на 2·x·y3. В этом случае решение выглядело бы так: .

Ответ:

.

При сокращении рациональных дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель рациональной дроби разложить на множители. Если общего множителя нет, то исходная рациональная дробь не нуждается в сокращении, в противном случае – проводится сокращение.

В процессе сокращения рациональных дробей могут возникать различные нюансы. Основные тонкости на примерах и в деталях разобраны в статье .

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей, отметим, что это преобразование является тождественным, а основная сложность в его проведении заключается в разложении на множители многочленов в числителе и знаменателе.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Достаточно специфическим, но в некоторых случаях очень полезным, оказывается преобразование рациональной дроби, заключающееся в ее представлении в виде суммы нескольких дробей, либо сумме целого выражения и дроби.

Рациональную дробь, в числителе которой находится многочлен, представляющий собой сумму нескольких одночленов, всегда можно записать как сумму дробей с одинаковыми знаменателями, в числителях которых находятся соответствующие одночлены. Например, . Такое представление объясняется .

Вообще, любую рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей множеством различных способов. Например, дробь a/b можно представить как сумму двух дробей – произвольной дроби c/d и дроби, равной разности дробей a/b и c/d. Это утверждение справедливо, так как имеет место равенство . К примеру, рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей различными способами: и т.п.

Отдельную ценность имеет представление рациональных дробей с одной переменной в виде суммы так называемых простейших дробей. Это преобразование называют .

А если показатель степени числителя рациональной дроби больше или равен степени показателя знаменателя, то такую дробь можно преобразовать к виду суммы целого рационального выражения и дроби. Для этого можно выполнить . Это преобразование может быть полезно, к примеру, при решении задач в целых числах.

Пример.

При каких целых n значение рациональной дроби является целым числом?

Решение.

Представим исходную дробь в виде суммы целого выражения и дроби. Выполнив деление числителя на знаменатель столбиком, мы получим равенство . Значение выражение n3+4 при любом целом n является целым числом. А значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда ее знаменатель равен 1, −1, 3 или −3. Этим значениям отвечают значения n=3, n=1, n=5 и n=−1 соответственно.

Ответ:

−1, 1, 3, 5.


Некогда разбираться?

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 13-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Источник: http://www.cleverstudents.ru/expressions/transformations_of_rational_fractions.html


Знаменатель числитель где находятся

Знаменатель числитель где находятся

Знаменатель числитель где находятся

Знаменатель числитель где находятся

Знаменатель числитель где находятся

Знаменатель числитель где находятся

Знаменатель числитель где находятся

Знаменатель числитель где находятся

Сейчас читают: